2017年度　名古屋造形大学　入学試験要項

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33数学（数Ⅰ）時　間：1時間2016年度　一般入学試験（前期）解答例問1　以下の問に答えよ。　　 （1）ab²－b²－a＋1 を因数分解せよ。　　 （2）x(x－１)(x²－１)＋x²(x²－１)(x³－１)＋x³(x³－１)(x⁴－１)の、x³ の係数を求めよ。問2　0ﾟ＜θ＜90ﾟ である θ に対しx=sinθ とおいた時、二次方程式 12x²－29x＋10＝０ が成り立つとする。このとき cosθ を求めよ。　 問3　以下の不等式を解け。　　 （1） √x²-x＞5　　 （2）｜2x－3｜＞x　　問4　放物線 y＝x²＋2kx＋1 に関して以下の問に答えよ。　　 （1）この放物線が x軸と異なる二点で交わるようなkの範囲を求めよ。　　 （2） この放物線が x軸を切り取る部分の長さが 2 であるような k を求めよ。問5　三辺の長さの比が 5：6：7 である三角形がある。この三角形の面積が 24√6 であるとき、一番短い辺の長さを求めよ。〈注意〉解答はすべて解答用紙の解答欄に記入しなさい。　　　 途中の計算も省略せずに記すこと。問1（1） ab2－b2－a＋1＝（a－1）b2－（a－1）＝（a－1）（b2－1） 　＝（a－1）（b－1）（b＋1）（2） x（x－1）（x2－1），x2（x2－1）（x3－1）， x3（x3－1）（x4－1），の3つそれぞれに関してx3の係数を考える．最初のものの係数は－1，次は0，最後は1であるので，x3の係数は0である．問2二次方程式12x2－29x＋10＝0は，12x2－29x＋10＝（12x－5）（x－2）＝0となるので，sinθの値としては512だけが候補になる．sin2θ＋cos2θ＝1から，cosθ＝11912となる．問3（1） まず，必ずしもx2＝xとはならないことに注意．x≧0であればこれは成り立つが，x＜0ならx2＝－xである．このことに注意して場合分けすると，x＜－52となる．（2） これも（i）x≧32，（ii）x＜32の二つの場合に分けて考えると，（i）の場合はx＞3．（ii）の場合はx＜1となる．よってx＞3またはx＜1．問4（1） この放物線がx軸と異なる二点で交わるためには，二次方程式x2＋2kx＋1＝0が異なる二つの解を持てば良い．よってk2－1＞0となり，k＞1またはk＜－1．（2） 放物線がx軸と交わる点のx座標をα,β（α＞β）とする．このとき解と係数の関係から，α＋β＝－2k，αβ＝1である．切り取る長さ＝2ということは，α－β＝2．これを二乗すると4＝（α－β）2＝（α＋β）2－4αβ＝4k2－4．ゆえにk2＝2．となり，k＝±2 ．問5（仮に）三辺の長さがそれぞれ5，6，7であったとして，その面積を考えてみよう．AB＝5，AC＝6，BC＝7とする．このとき，余弦定理からBC2＝AB2＋AC2－2AB・AC・cos∠BACであるので72＝52＋62－2・5・6・cos∠BAC．すなわちcos∠BAC＝15．よってsin∠BAC＝2 65．よって頂点Bから辺ACへ下ろした垂線の長さはsin∠BAC・AB＝2 6．以上から三角形ABCの面積はAC×2 6×12＝6 6．問題の三角形は面積＝24 6＝6 6×4．つまり4倍の面積であるが，相似な三角形の面積は相似比の二乗に比例するので，相似比は2である（22＝4なので）．以上から，求める三角形の三辺の長さは10，12，14．よって一番短い辺は10である．選択科目美術アニメーションマンガグラフィックイラストレーションデジタルメディア建築・インテリアプロダクトジュエリー●●●●●●●●●対　象コース：

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